Nonperturbative analysis of a model quantum system under time periodic forcing

We analyze the time evolution of a one-dimensional quantum system with an attractive delta function potential whose strength is subjected to a time periodic (zero mean) parametric variation η(t). We show that for generic η(t), which includes the sum of any finite number of harmonics, the system, started in a bound state will get fully ionized as t → ∞ irrespective of the magnitude or frequency of η(t). For the case η(t) = r sin(ωt) we find an explicit representation of the probability of ionization. There are however exceptional, very non-generic η(t), that do not lead to full ionization. These include rather simple explicit periodic η(t) for which the system evolves to a nontrivial localized stationary state related to eigenfunctions of the Floquet operator. Analyse non-perturbative d’un systeme quantique modèle avec force exterieure periodique Résumé Nous analysons l’évolution dans le temps d’un système unidimensionel avec un potentiel attractif de type fonction delta soumis a une variation périodique de moyenne nulle, η(t). Nous démontrons que pour η générique (en particulier pour une somme finie d’oscillations harmoniques) le système qui est d’abord dans un état lié vat être complètement ionisé pour t→ ∞. Des fonctions η(t) très nongénériques, toutefois explicites, existent pour lesquelles le système évolue vers un état localisé non-trivial, lié aux fonctions propres de l’opérateur de Floquet associé. 1 Version française abrégée Nous étudions rigoureusement le comportement pour t → ∞ d’un système quantique unidimensionnel simple, avec potentiel attractif de type delta, soumis à une variation paramétrique périodique. Dans des unités convenables, le Hamiltonien est de la forme H(t) = H0 − 2 η(t)δ(x) = d dx2 − 2 δ(x)− 2 η(t)δ(x) où H0 a un seul état lié ub = e −|x| d’énergie ω0 = −1 et un spectre continu sur l’axe réel positif, avec fonctions propres généralisées, voir eq. (3). On peut développer la solution de l’équation de Schrödinger ψ(x, t) par rapport aux fonctions propres de H0 (5) avec conditions initielles θ(0) = θ0, Θ(k, 0) = Θ0(k) normalisées convenablement, eq. (6). Alors, la probabilité de survie de l’état lié est P (t) = |θ(t)|2, alors que |Θ(k, t)|2dk donne la “fraction de particules éjectées” avec (quasi-) impulsion dans l’intervalle dk. En prennant la fonction Y donnée par (7) on obtient les équations eq. (8) et Y satisfait une équation intégrale, (10). Notre méthode d’analyse utilise les propriétés analytiques de la transformation de Laplace y(p) de Y (t) pour déterminer les propriétés asymptotiques de Y (t) par rapport à t. Department of Mathematics, Hill Center, Rutgers University, New Brunswick, NJ 08903, USA. e-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected].